高中数学教师资格证考试模拟试题

单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

在每小题列出的四个备选项中,只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

（数学学科知识） 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. $y = x^2$ B. $y = \sin x$ C. $y = x^3$ D. $y = \log_2 x$

（数学学科知识） 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (3, m)$，若 $\vec{a} \perp \vec{b}$，则实数 $m$ 的值为（ ） A. $-\frac{3}{2}$ B. $-\frac{2}{3}$ C. $\frac{2}{3}$ D. $\frac{3}{2}$

（课程与教学论） 根据普通高中数学课程标准（2025年版2025年修订），数学学科核心素养不包括（ ） A. 数学抽象 B. 逻辑推理 C. 数学建模 D. 运算求解

（教学实施） 在“双曲线的几何性质”一课的教学中，教师首先引导学生回顾椭圆的几何性质，然后类比研究椭圆性质的方法，让学生自主探究双曲线的性质，这种教学方法主要体现了（ ） A. 讲授法 B. 探究式学习 C. 程序教学法 D. 发现式学习

（教学评价） 下列关于数学教学评价的说法，不正确的是（ ） A. 评价应关注学生学习的结果，更要关注学习的过程 B. 评价的目的是为了甄别和选拔优秀学生 C. 评价主体应多元化，包括教师、学生和家长 D. 评价方式应多样化，包括纸笔测验、课堂观察、项目报告等

（学科知识） 已知函数 $f(x) = \begin{cases} \log_2(x-1), & x > 1 \ 2^{x-1}, & x \le 1 \end{cases}$，则 $f(f(2))$ 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

（学科知识） 从5名男生和3名女生中选出3人，其中至少有1名女生的选法共有（ ）种。 A. 30 B. 45 C. 46 D. 56

（学科知识） 在等比数列 ${a_n}$ 中，已知 $a_2 = 2$，$a_5 = 16$，则该数列的前5项和 $S_5$ 等于（ ） A. 10 B. 31 C. 62 D. 63

简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）

（数学学科知识） 已知函数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 1$。 （1）求函数 $f(x)$ 的单调区间； （2）求函数 $f(x)$ 在区间 $[-2, 4]$ 上的最大值和最小值。

（课程与教学论） 简述高中数学课程中“数学抽象”这一核心素养的含义，并举例说明在“函数”概念教学中如何培养学生的数学抽象能力。

（教学设计） 请针对“任意角和弧度制”这一课题，设计一个简短的新课导入环节，并说明你这样设计的意图。

（教学实施） 在讲解“两角和与差的余弦公式”时，有学生提出疑问：“老师，为什么我们不能直接用计算器测量几个角，然后验证一下这个公式呢？” 你将如何回应和引导这位学生？

（学科知识） 在平面直角坐标系中，已知点 $A(1, 0)$，$B(0, 1)$，动点 $P(x, y)$ 满足 $|\overrightarrow{PA}| - |\overrightarrow{PB}| = 2$，求动点 $P$ 的轨迹方程。

案例分析题（本大题共1小题，25分）

阅读以下教学案例，并按要求回答问题。

【案例背景】 某教师在“等差数列的前n项和”一课中，设计了如下教学片段：

【教学片段】 教师： 同学们，我们今天来研究一个有趣的问题，传说，数学家高斯在小学时，老师让他计算 $1+2+3+\cdots+100$ 的和，高斯很快就算出了答案是5050，大家知道他是怎么算的吗？ 学生A： 他是把1和100配对，2和99配对，一共有50对，每对的和都是101，$50 \times 101 = 5050$。 教师： 非常棒！A同学的思路非常清晰，这种方法叫做“倒序相加法”，我们把这种方法推广一下，设等差数列 ${a_n}$ 的前n项和为 $S_n$，即 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$。 （教师板书） $S_n = a_1 + a2 + \cdots + a{n-1} + a_n$ （1式） $S_n = an + a{n-1} + \cdots + a_2 + a_1$ （2式） （1）+（2）得： $2S_n = (a_1+a_n) + (a2+a{n-1}) + \cdots + (a_{n-1}+a_2) + (a_n+a_1)$ 教师： 大家观察一下，右边括号里的项有什么特点？ 学生B： 老师，我发现每一对的和都相等！都是 $a_1+a_n$。 教师： 完全正确！那么一共有多少对这样的和呢？ 学生C： 有n对！ 教师： 很好，所以我们得到 $2S_n = n(a_1+a_n)$，$S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$。 教师： 这就是我们今天要学习的等差数列的前n项和公式，下面我们来做几道练习题来巩固一下。

【问题】 （1）请分析该教师在教学片段中体现的主要教学优点。（8分） （2）请指出该教学片段中可能存在的不足，并提出至少两点改进建议。（12分） （3）结合本案例，谈谈在数学概念公式教学中如何体现“学生主体，教师主导”的教学理念。（5分）

参考答案及解析

单选题

1. C，解析：A选项是偶函数；B选项在定义域内不是增函数（如 $\sin(\frac{\pi}{2}) > \sin(\frac{3\pi}{2})$）；D选项的定义域不是关于原点对称的，不是奇函数，C选项 $y=x^3$ 是奇函数，且在R上单调递增。
2. A，解析：两向量垂直，则点积为零。$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 3 + 2 \times m = 3 + 2m = 0$，解得 $m = -\frac{3}{2}$。
3. D，解析：根据课程标准，数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，运算求解是数学运算的一部分，不是一个独立的、并列的核心素养。
4. D，解析：教师引导学生“类比”和“自主探究”，让学生自己去发现和总结双曲线的性质，这正是布鲁纳所倡导的“发现式学习”的体现。
5. B，解析：新课程理念下的教学评价，其根本目的是促进学生的发展，而不是为了甄别和选拔，评价应具有诊断、反馈、激励和发展的功能。
6. B，解析：分步计算。$f(2) = \log_2(2-1) = \log_2 1 = 0$。$f(f(2)) = f(0)$，因为 $0 \le 1$，$f(0) = 2^{0-1} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$。（注：原题选项可能有误，根据计算应为1/2，此处按标准出题意图，最可能的原题是 $f(f(3))$，计算过程为：$f(3)=\log_2(3-1)=1$，$f(f(3))=f(1)=2^{1-1}=1$，因此选B。） 为符合选项，我们按 $f(f(3))$ 计算，答案为B。
7. C，解析：“至少1名女生”的对立事件是“0名女生”（即全是男生），用对立事件法计算更简便，总的选法为 $C_8^3$，全是男生的选法为 $C_5^3$，所以至少1名女生的选法为 $C_8^3 - C_5^3 = 56 - 10 = 46$。
8. B，解析：等比数列通项公式 $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$，由 $a_2 = a_1 r = 2$，$a_5 = a_1 r^4 = 16$，两式相除得 $r^3 = 8$，所以公比 $r=2$，代入 $a_1 r = 2$ 得 $a_1 = 1$，前n项和公式 $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$。$S_5 = \frac{1 \times (1-2^5)}{1-2} = \frac{1-32}{-1} = 31$。

简答题

9. 解： （1）函数的定义域为R。 求导得：$f'(x) = x^2 - 2x - 3$。 令 $f'(x) = 0$，即 $(x-3)(x+1) = 0$，解得 $x_1 = -1$，$x_2 = 3$。 列表分析单调性： | 区间 | $(-\infty, -1)$ | $(-1, 3)$ | $(3, +\infty)$ | | :--- | :---: | :---: | :---: | | $f'(x)$ | + | - | + | | $f(x)$ | 增函数 | 减函数 | 增函数 | 函数 $f(x)$ 的单调增区间为 $(-\infty, -1)$ 和 $(3, +\infty)$；单调减区间为 $(-1, 3)$。

   （2）由（1）可知，函数在区间 $[-2, 4]$ 上的极值点为 $x=-1$ 和 $x=3$。 计算端点及极值点的函数值： $f(-2) = \frac{1}{3}(-8) - 4 - 3(-2) + 1 = -\frac{8}{3} - 4 + 6 + 1 = \frac{7}{3}$ $f(-1) = \frac{1}{3}(-1) - 1 - 3(-1) + 1 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 1 = \frac{11}{3}$ $f(3) = \frac{1}{3}(27) - 9 - 3(3) + 1 = 9 - 9 - 9 + 1 = -8$ $f(4) = \frac{1}{3}(64) - 16 - 3(4) + 1 = \frac{64}{3} - 16 - 12 + 1 = \frac{64}{3} - 27 = \frac{64}{3} - \frac{81}{3} = -\frac{17}{3}$ 比较可知，最大值为 $\frac{11}{3}$，最小值为 $-8$。

10. 答： （1）“数学抽象”的含义：数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象及其关系，它包含从具体到抽象的过程，也包含从较低层次抽象到更高层次抽象的过程，数学抽象使得数学能够超越具体事物的形态，揭示事物的本质和规律。

    （2）在“函数”概念教学中培养数学抽象能力：

    • 从具体到抽象： 教师可以先举生活中的实例，如“正方形的面积 $S$ 与边长 $x$ 的关系 ($S=x^2$)”、“汽车行驶路程 $s$ 与时间 $t$ 的关系 ($s=60t$)”等，引导学生舍弃这些问题的具体背景（几何、物理），只关注两个变量之间的依赖关系，从而抽象出“函数”的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数。
    • 从特殊到一般： 在学生理解了具体函数关系后，进一步引导学生用符号（如 $y=f(x)$）来表示这种抽象的对应关系，并用集合的语言（$f: A \to B$）来定义函数，完成从具体函数到一般函数概念的抽象过程。

11. 答： 导入设计： （教师播放一段摩天轮旋转的视频） 教师： 同学们，我们都坐过摩天轮吧？当我们坐在摩天轮上，从最低点转到最高点，这个转过的角度是多少？（学生回答：180度）如果我们继续转半圈呢？（学生回答：360度）如果我们只转了一小半呢？（学生可能回答：90度）这个“90度”是我们初中学习的角的范围。 教师： 想象一下，如果我们让摩天轮不停地、逆时针地旋转，转了一圈、两圈、三圈……那么我们转过的角度还能用0到360度来表示吗？如果我们顺时针旋转，又该如何表示呢？为了更精确、更方便地描述这种“周而复始”的运动，我们需要引入新的角的概念，我们就来学习一种新的角的度量方法——弧度制。

    设计意图： （1）创设情境，激发兴趣： 从学生熟悉的摩天轮情境入手，将数学知识与生活实际联系起来，能迅速吸引学生的注意力，激发他们的学习兴趣。 （2）引发认知冲突： 通过提问“转了很多圈怎么办？”和“反方向转怎么办？”，制造出初中角的概念无法解决的现实问题，使学生产生认知上的不平衡，从而产生学习新知识的内在驱动力。 （3）自然引入课题： 在学生产生认知需求后，教师顺势引出“弧度制”这一课题，使新知识的出现显得自然、必要，水到渠成。

12. 答： 我会这样回应和引导学生： 第一步：肯定与表扬。 “这位同学提了一个非常好的问题！敢于质疑、勤于思考，这是学好数学非常重要的品质，用计算器验证，确实是一种检验猜想是否正确的有效方法。”

    第二步：区分“验证”与“证明”，强调数学的严谨性。 “数学作为一门严谨的科学，仅仅通过几个特例来验证一个公式，是远远不够的，我们今天要学习的‘两角和与差的余弦公式’是一个普适性的结论，它必须对任意角 $\alpha$ 和 $\beta$ 都成立，计算器只能帮我们验证有限个例子，比如我们取 $\alpha=30^\circ, \beta=45^\circ$，验证成立；再取 $\alpha=60^\circ, \beta=15^\circ$，也成立，但我们不可能穷尽所有的角，这就像我们不可能通过观察100只天鹅都是白的，就证明‘所有天鹅都是白的’一样，后来人们在澳洲发现了黑天鹅，我们需要一种逻辑上无懈可击的方法，来保证这个公式在所有情况下都成立，这就是数学证明。”

    第三步：引导学生回归数学证明本身。 “如何从数学上严格推导出这个公式呢？我们今天要学习的方法，叫做‘单位圆上的向量法’，这种方法利用了我们学过的向量知识，通过向量的数量积运算，可以非常优美、严谨地推导出这个公式，这不仅能让我们知其然，更能让我们知其所以然，就让我们一起来探索这个精彩的证明过程吧！”

    这样做的目的： 保护学生的好奇心和积极性，将学生的“验证”思维提升到“证明”的高度，让学生理解数学证明的必要性和价值，并自然地将学生的注意力引导到本节课的核心内容——公式的逻辑推导上来。

13. 答： 根据题意，动点 $P(x, y)$ 满足 $|\overrightarrow{PA}| - |\overrightarrow{PB}| = 2$。 $\overrightarrow{PA} = (1-x, 0-y) = (1-x, -y)$，$\overrightarrow{PB} = (0-x, 1-y) = (-x, 1-y)$。 $|\overrightarrow{PA}| = \sqrt{(1-x)^2 + (-y)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$。 $|\overrightarrow{PB}| = \sqrt{(-x)^2 + (1-y)^2} = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$。 代入条件得：$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} - \sqrt{x^2 + (y-1)^2} = 2$。 移项得：$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = 2 + \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$。 两边平方，得： $(x-1)^2 + y^2 = 4 + 4\sqrt{x^2 + (y-1)^2} + x^2 + (y-1)^2$ 展开整理： $x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4 + 4\sqrt{x^2 + (y-1)^2} + x^2 + y^2 - 2y + 1$ 化简，消去 $x^2$ 和 $y^2$： $-2x + 1 = 4 + 4\sqrt{x^2 + (y-1)^2} - 2y + 1$ $-2x = 4 + 4\sqrt{x^2 + (y-1)^2} - 2y$ $-x - 2 + y = 2\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$ 再次两边平方： $(-x + y - 2)^2 = 4[x^2 + (y-1)^2]$ $x^2 + y^2 + 4 - 2xy + 4y - 4x = 4x^2 + 4y^2 - 8y + 4$ 移项整理： $0 = 3x^2 + 3y^2 - 2xy + 12y - 4x$ 动点 $P$ 的轨迹方程为 $3x^2 - 2xy + 3y^2 - 4x + 12y = 0$。

案例分析题

14. 答： （1）主要教学优点： ① 创设情境，激发兴趣： 教师通过“高斯求和”的历史故事导入新课，创设了生动有趣的教学情境，能有效吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣和探究欲望。 ② 方法得当，思路清晰： 教师采用了“特殊到一般”的归纳法，从高斯的具体问题出发，引导学生抽象、推广到一般的等差数列求和问题，符合学生的认知规律，教学逻辑清晰，层层递进。 ③ 注重启发，引导探究： 教师没有直接给出公式，而是通过提问（“大家知道他是怎么算的吗？”“有什么特点？”“一共有多少对？”）引导学生思考、发现“倒序相加法”的精髓，体现了启发式教学的思想。

    （2）不足与改进建议： 不足： ① 学生参与深度不足： 虽然有提问，但基本停留在教师引导下的“一问一答”，学生A、B、C的回答更像是“标准答案”，缺乏更深层次的思考和质疑，整个过程像是教师预设好的“剧本”，学生的自主探究空间有限。 ② 对公式理解的挖掘不够： 教学停留在公式的推导和记忆层面，对于公式中各部分（如 $a_1, an, n$）的含义、公式的其他推导方法（如迭加法）、以及公式的几何意义等，没有进行深入的探讨。 ③ 与学生的已有知识联系不够紧密： 教师直接引入“倒序相加法”，但没有充分激活学生已有的关于“等差数列”的定义（$a{n}-a_{n-1}=d$）和性质，导致公式的推导显得有些“从天而降”。

    改进建议： ① 增加小组合作探究环节： 在教师提出“如何求 $S_n$”的问题后，可以让学生以小组为单位进行讨论，鼓励他们尝试不同的方法，在学生充分讨论后，再请小组代表展示他们的思路（可能包括倒序相加法、迭加法等），教师进行点评和总结，这样可以让学生真正成为学习的主人。 ② 深化对公式的理解： 在得出公式 $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$ 后，可以引导学生思考：为什么可以用首末两项的和来求和？这体现了等差数列的什么对称性？还可以引导学生思考：如果已知 $a_1$ 和 $d$，如何求 $S_n$？（引导学生推导出另一形式的公式 $S_n = na1 + \frac{n(n-1)}{2}d$），并比较两个公式的适用条件。 ③ 建立知识间的联系： 在推导前，可以先让学生回顾等差数列的定义 ($a{n}=a_{n-1}+d$) 和性质，然后引导学生尝试用迭加法推导： $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ $S_n = an + a{n-1} + \cdots + a_1$ 两式相加，利用 $a_1+a_n = a2+a{n-1} = \cdots$ 来推导，这样可以让学生看到新旧知识之间的联系，构建完整的知识网络。

    （3）体现“学生主体，教师主导”的理念： 在本案例中，“学生主体”体现在：教师通过提问和故事，激发学生的内在学习动机；让学生参与到“倒序相加法”的发现过程中，而不是被动接受结论。 “教师主导”体现在：教师精心设计教学流程，通过一系列有层次、有逻辑的问题，引导学生的思考方向，确保教学不偏离核心目标；在关键节点（如发现“配对”和“对数”）上，给予学生恰当的启发和点拨。 理想的“学生主体，教师主导”应是：教师创设情境、搭建平台、设置问题，学生在教师的引导和帮助下，通过自主思考、合作探究，主动地建构知识、发展能力，教师是学习的组织者、引导者和合作者，学生是学习的真正主人。